Bilangan Pangkat dua dan Tiga

Bilangan pangkat dua dan tiga merupakan salah satu materi yang diujikan dalam Ujian Sekolah Berstandar Nasional. Indikator soal untuk materi ini adalah siswa dapat menentukan hasil operasi hitung penjumlahan dan pengurangan bilangan pangkat dua. Perpangkatan bilangan merupakan perkalian berulang pada bilangan itu sendiri. Hasil perpangkatan bilangan dapat ditentukan dengan cara mengalikan bilangan tersebut sesuai dengan jumlah pangkatnya Pangkat dua berarti mengalikan bilangan tersebut sebanyak dua kali. Pangkat tiga berarti mengalikan bilangan tersebut sebanyak tiga kali.

1. Pangkat Dua
Bilangan pangkat dua atau sering disebut dengan bilangan kuadrat. Pangkat dua suatu bilangan Secara umum ditulis : a² = a x a atau mengkuadratkan suatu bilangan sama artinya dengan mengalikan bilangan itu dengan dirinya sendiri. Misalnya papan catur mempunyai 8 × 8 petak kecil. 8 × 8 dapat ditulis 8² dan dibaca delapan pangkat dua atau delapan kuadrat. Berikut daftar hasil pengkuadratan bilangan antara 1 sampai 100.

1²= 1	2²= 4	3²= 9	4²= 16	5²= 25	6²= 36	7²= 49	8²= 64	9²= 81	10²= 100
11²	12²	13²	14²	15²	16²	17²	18²	19²	20²
121	144	169	196	225	256	289	324	361	400
21²	22²	23²	24²	25²	26²	27²	28²	29²	30²
441	484	529	576	625	676	729	784	841	900
31²	32²	33²	34²	35²	36²	37²	38²	39²	40²
961	1.024	1.089	1.156	1.225	1.296	1.369	1.444	1.521	1.600
41²	42²	43²	44²	45	46²	47²	48²	49²	50²
1.681	1.764	1.849	1.936	2.025	2.116	2.209	2.304	2.401	2.500
51²	52²	53²	54²	55²	56²	57²	58²	59²	60²
2.061	2.704	2.809	2.916	3.025	3.136	3.249	3.364	3.481	3.600
61²	62²	63²	64²	65²	66²	67²	68²	69²	70²
3.721	3.844	3.969	4.096	4.225	4.356	4.489	4.624	4.761	4.900
71²	72²	73²	74²	75²	76²	77²	78²	79²	80²
5.041	5.184	5.329	5.476	5.625	5.776	5.929	6.084	6.241	6.400
81²	82²	83²	84²	85²	86²	87²	88²	89²	90²
6.561	6.724	6.889	7.056	7.225	7.396	7.569	7.744	7.921	8.100
91²	92²	93²	94²	95²	96²	97²	98²	99²	100²
8.281	8.464	8.649	8.836	9.025	9.216	9.409	9.604	9.801	10.000

Menentukan Akar Pangkat Dua
Cara menentukan bilangan akar pangkat dua dapat dilakukan dengan cara menggunakan pembagian. Cara pembagian ini menurut saya merupakan cara yang paling mudah untuk dilakukan. Perhatikan contoh berikut ini .
Berapa ²√2025

• Pisahkan dua angka di sebelah kanan dengan tanda titik sehingga menjadi 20.25.
• Carilah akar terbesar dari bilangan di sebelah kiri titik (20) yaitu 4.
• 4² = 16, angka 16 ditulis di bawah angka 20 kemudian dikurangkan, yaitu 20 – 16 = 4.
• Turunkan angka 25 melengkapi sisa 4 menjadi 4.25.
• Hasil penarikan akar tadi (4) kalikan 2 menjadi 8.
• Carilah bilangan n yang memenuhi 8n × n sehingga hasil kalinya 425 atau bilangan terbesar di bawah 425. Pada contoh nilai n yang sesuai yaitu 5, sehingga 85 × 5 = 425.
• Angka 5 ini diletakkan melengkapi 4 hasil penarikan akar tadi menjadi 45.
• Oleh karena 425 – 425 = 0 maka 45 merupakan hasil akhir penarikan akar kuadrat. Bila hasil pengurangannya belum nol maka dilakukan penurunan angka berikutnya seperti langkah-langkah di atas.

Contoh Soal 1 :
Hasil dari 12²+ 8² - 9² adalah.....

Pembahasan
Hasi 12²+ 8² - 9²adalah.....

12²=144
8²= 64
9²= 81

12²+ 8²- 9²= 144+ 64 - 81 = 208 - 81 = 127

Contoh Soal 2 :
Hasil dari 30²+ 31² =....

Pembahasan :
30²= 900
31²=961
30²+ 31² = 900 + 961 = 1.861

Contoh Soal 3 :
Hasil dari 8²+ 16² + 23² = ....

Pembahasan :
8²= 64
16²= 256
23²= 529
8²+ 16²+23² = 64 + 256 + 529 = 849

2. Bilangan Pangkat Tiga
Bilangan pangkat tiga atau sering disebut bilangan kubik merupakan bilangan hasil pemangkatan tiga suatu bilangan. Secara umum ditulis : a³ = a x a x a. Berikut ini daftar hasil pemangkatan tiga bilangan 1 sampai dengan 100.

13=1	213=9.261	413=68.921	613=226.981	813=531.441
23=8	223=10.648	423=74.088	623=238.328	823=551.368
33=27	233=12.167	433=79.507	633=250.047	833=57.1787
43=64	243=13.824	443=85.184	643=262.144	843=592.704
53=125	253=15.625	453=91.125	653=274.625	853=614.125
63=216	263=17.576	463=97.336	663=287.496	863=636.056
73=343	273=196.83	473=103.823	673=300.763	873=658.503
83=512	283=21.952	483=110.592	683=314.432	883=681.472
93=729	293=24.389	493=117.649	693=328.509	893=704.969
103=1.000	303=27.000	503=125.000	703=343.000	903=729.000
113=1.331	313=29.791	513=132.651	713=357.911	913=753.571
123=1.728	323=32.768	523=140.608	723=373.248	923=778.688
133=2.197	333=35.937	533=148.877	733=389.017	933=804.357
143=2.744	343=39.304	543=157.464	743=405.224	943=830.584
153=3.375	353=42.875	553=166.375	753=421.875	953=857.375
163=4.096	363=46.656	563=175.616	763=438.976	963=884.736
173=4.913	373=50.653	573=185.193	773=456.533	973=912.673
183=5.832	383=54.872	583=195.112	783=474.552	983=941.192
193=6.859	393=59.319	593=205.379	793=493.039	993=970.299
203=8.000	403=64.000	603=216.000	803=512.000	1003=1.000.000

Menentukan Akar Pangkat Tiga
Akar pangkat tiga merupakan kebalikan dari pangkat tiga
Nilai dari ³√79.507 adalah......
Pembahasan :
a. Menentukan nilai puluhan bilangan yang dicari

• Abaikan tiga angka terakhir. 79.507 → 79
• Carilah bilangan kubik dasar terbesar di bawah angka yang tersisa (79). Yaitu 64.
• Tariklah akar pangkat tiga dari bilangan kubik dasar tersebut. Hasil akar pangkat tiga ini sebagai puluhan. ³√64 = 4. Jadi, puluhannya adalah 4.

b. Menentukan nilai satuan bilangan yang dicari.

• Perhatikan angka terakhirnya. 79.507 → 507.
• Carilah bilangan kubik dasar yang satuannya sama dengan 7 → 27
• Tariklah akar pangkat tiga dari bilangan kubik dasar tersebut. ³√27 = 3.
• Hasil akar pangkat tiga ini sebagai satuan.
• Satuannya 3.

Jadi ³√79.507 = 43.

Permasalahan yang Melibatkan Akar Pangkat Tiga
Contoh Soal 1 :

Air sebanyak 3.375 cm³ dapat dituangkan dengan tepat pada bak terbentuk dari kubus yang mempunyai panjang rusuk....cm.

Pembahasan :
Volume kubus =s³, s=³√V =³√3.375 = 15
Jadi panjang rusuk bak yang berbentuk kubus adalah 15 cm.

Contoh Soal 2 :
Sebuah kubus besar tersusun atas 8 kecil. Jika volume kubus kecil 216 cm³, panjang rusuk kubus besar adalah....

Pembahasan :
³√8 = 2
³√216 = 6, rusuk kubus besar = 2 x 6 = 12 cm

Contoh Soal 3 :
Bak berbentuk kubus berisi air sebanyak seperempatdari kapasitas volume bak. Jika volume air di dalam bak 35.152 cm³, lebar bak tersebut adalah....

Pembahasan :
Volume bak : 35.152 cm³ x 4 = 140.608
Panjang bak = ³√140.608 = 52
Jadi panjang bak = 52 cm.